¿Que es algebra lineal?

                          ¿Que es algebra lineal?

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas modernas que juega un papel central debido a que se encarga del estudio de conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales , espacios vectoriales y transformaciones  lineales.

En álgebra lineal, los conceptos son tan importantes como los cálculos, por lo que se convierte en un curso adecuado para introducir el pensamiento abstracto, debido a que una gran parte de su campo tiene una interpretación geométrica, que puede ayudar precisamente a visualizar esos conceptos.

campos de aplicación de algebra lineal

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

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Aplicaciones de los Sistemas de ecuaciones lineales

• Problemas cotidianos

En múltiples áreas de la vida cotidiana, la relación aritmética que se conoce entre varias variables por alguna ley o por diferencias comparativas permite establecer un sistema de ecuaciones lineales cuya solución conduce a determinar las incógnitas planteadas.

Ejemplo (problema de las edades)

Aplicación de las Transformaciones lineales

En diversas aplicaciones de la computación y de la ingeniería se requiere describir la traslación de figuras geométricas y la variación de sus dimensiones. Esta posibilidad está asociada a ciertas transformaciones lineales.

3.1Traslación

La traslación permite desplazar un objeto a lo largo de sus dimensiones, como resultado se obtiene un cambio de posición.

Vectores

En física, un vector​ es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido.​ Los vectores nos permiten representar magnitudes físicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo.

Operaciones

Suma de vectores

Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo 10 w más 20 w son 30 w de potencia. Por el contrario, para sumar dos magnitudes vectoriales el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido.

Conociendo las componentes cartesianas de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector.

Si queremos sumar dos vectores en 3D y conocemos sus componentes, las componentes del vector suma, aplicando el mismo procedimiento, sería:

Por ejemplo:

Vamos a sumar dos vectores en tres dimensiones de los que sabemos sus coordenadas cartesianas:

(5, 1, 2) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector suma.

El mismo procedimiento serviría para sumar dos vectores en el plano, ejes X e Y.

Otro procedimiento para la suma de vectores es el método del paralelogramo. El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores.

1. Primero se dibujan ambos vectores a escala, con el punto de aplicación común.
2. Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos.
3. El vector suma resultante ( + ) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales.
   

El método del triángulo o método cabeza-cola es una variante del método del paralelogramo. Se desplaza el vector  paralelamente hasta el extremo del vector . El lado que completa el triángulo es el vector suma ( + ), cuyo inicio está en el extremo del primer vector  y su fin en el final del segundo vector sumando .

Mediante las dos fórmulas equivalentes anteriores, derivadas del teorema del coseno obtenemos el módulo del vector suma.

Se aplica sobre el ángulo (180° – α), opuesto al lado ( + ) del triángulo. Como en los ángulos suplementarios se cumple que:

Por ejemplo:

Sean dos vectores en un plano de módulos 2 y 3, que forman un ángulo de 60° ¿Cuál es el vector suma?

El vector suma será la diagonal del paralelogramo con origen en el punto de aplicación de ambos vectores, o, lo que es lo mismo, el lado que completa el triángulo con el método cabeza-cola. El módulo del vector suma será:

Resta de vectores

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Se procede igual que en la suma, bien operando con las componentes cartesianas, o bien mediante el método del paralelogramo.

Sabiendo los componentes cartesianos de los vectores, restaremos los componentes cartesianos del segundo vector de los del primero:

Por ejemplo:

Sean los vectores =(2,-3,4) y el vector =(3,4,-2):

(-1, -7, 6) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector resta.

El mismo procedimiento serviría para restar dos vectores en el plano, de ejes x e y.

Otro procedimiento para la resta de vectores es el método gráfico. Ahora, con el método del paralelogramo tendremos que poner en el punto de aplicación del primer vector el punto de aplicación del vector opuesto. En otras palabras, la resta de dos vectores equivale a sumarle al primero el opuesto del segundo:

Gráficamente, y tomando la resta de los mismos vectores que los del caso de la suma por el método gráfico del ejemplo anterior:

Vemos que la fórmula para hallar el módulo del vector resta es la misma que la del vector suma, teniendo en cuenta que ahora el ángulo que forman los vectores es el suplementario (ver ángulos suplementarios) del tomado en la suma.

En este ejemplo concreto, el módulo del vector resta seria 2,65. (Ver el teorema del coseno)}

Al igual que en la suma de vectores, en la resta tenemos los procedimientos gráficos del paralelogramo y el del triángulo o cabeza-cola.

Vemos en las figuras cómo cambia el sentido cuando se invierte el orden de los términos de la resta.

En las figuras se han superpuesto el método del paralelogramo en la suma con el de cabeza-cola para la resta.

Propiedades de la suma y resta de vectores

La suma de vectores tiene las propiedades:

• Asociativa:
  
• Conmutativa:
  
• Elemento opuesto :
  
• Elemento neutro :
  

La resta de vectores no cumple la propiedad conmutativa. Ya que:

Multiplicación de vectores

Producto de un vector por un escalar

La multiplicación de un vector  por un escalar n es otro vector  cuyo módulo será |n| · ||.

Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido. Si n es negativo, el vector producto tendrá el sentido opuesto.

Lo mismo diremos de la división de un vector por un escalar.

Producto escalar

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Diferente a lo anterior es el producto escalar de dos vectores. Llamamos producto escalar (o producto interno) de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, a un número escalar (atención, no un vector) igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo α que forman.

También podemos decir que el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es:

Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, el producto escalar será el producto de sus módulos (cos 0° = 1). En este caso, si los dos vectores fuesen iguales, el producto escalar sería igual a:

Si los dos vectores tienen la misma dirección pero sentido opuesto, el producto escalar será el producto de sus módulos con signo contrario (cos 180° = -1).

Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar será nulo (cos 90° = 0).

El producto escalar de dos vectores de los que conocemos sus componentes se puede resolver mediante matrices o determinantes:

En este ejemplo, el producto escalar es -2.

Un caso de producto escalar sería el trabajo (magnitud escalar) que realiza una fuerza, cuando ocasiona un desplazamiento. Es el producto del módulo de la fuerza por la proyección sobre la dirección de ésta del desplazamiento producido.

Producto vectorial

Se llama producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores  y  a otro vector  cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman.

Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación  x  como  ∧ . Aquí utilizaremos la notación  ∧ .

La dirección del vector producto vectorial () es perpendicular al plano que forman  y  y su sentido lo marca la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos).

El módulo del vector  es igual al número que representa el área del paralelogramo formado a partir de los dos vectores iniciales.

Se puede obtener el producto vectorial de dos vectores  (a_x,a_y,a_z) y  (b_x,b_y,b_z) mediante matrices:

Veamos un ejemplo:

Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).

Pero si los vectores están en rectas paralelas o coincidentes, su producto vectorial es cero. Por lo tanto, será nulo el producto vectorial de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).

El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, porque si se permutan los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta (propiedad anticonmutativa).

El producto vectorial cumple la propiedad distributiva:

Un ejemplo de producto vectorial es el momento de una fuerza respecto de un punto O. Este momento es otro vector  producto vectorial del vector posición , del punto de aplicación de la fuerza referido a O, por el vector fuerza . O sea,  =  ∧ .

Producto de tres vectores: Producto mixto

Consideraremos el caso del llamado producto mixto de tres vectores. Es un número o magnitud escalar que se obtiene, partiendo del producto vectorial de dos vectores  y , multiplicado escalarmente por un tercer vector .

En primer lugar, se resuelve el producto vectorial. El vector resultante se multiplica escalarmente por el vector .

Este producto de tres vectores es numéricamente igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores ,  y .

Efectivamente, hemos dicho antes que el módulo del producto vectorial es igual al área que forman los vectores factores,  y .

El módulo del producto escalar es: │ ∧ │ · ││ · cos α.

││ · cos α) es la altura h del paralelepípedo formado por los vectores ,  y , cuando se toma como base la cara formada por , . Esta es la demostración de que el producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo de la figura.

Matrices

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}}$

tipos de matrices

Matriz cuadrada

Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:

Puede ser una matriz con valores ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}+4&+7&-9\\+2&+1&+7\\-5&+6&+9\end{bmatrix}}}$

O también una matríz con subíndices (Genérica)${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}}$

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables ${\displaystyle C\in {\mathcal {M}}_{4\times 4}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}+7&+6&6&-5\\+8&(3*w)&+3&-1\\-1&+6&(w+8)&+8\\-3&(6-w)&0&-6\end{bmatrix}}}$

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos ${\displaystyle aii}$.
Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos ${\displaystyle a_{1,n}}$ y ${\displaystyle a_{n,1}}$, como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo ${\displaystyle a_{8,n-7}}$, donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

Matriz Rectangular

Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas.
Puede ser de dos formas; vertical u horizontal, y/o puede ser una matriz diagonal.

Al tener distinto número de filas que de columnas, su dimensión es mxn.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&25\\9&1&3\end{bmatrix}}}$

Matriz Vertical

Es aquella que tiene más filas que columnas.

Matriz Columna

Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}}$

Matriz Horizontal

Es aquella que tiene más columnas que filas.

Matriz Fila

Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}}}$

Matriz Diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no. Escrito de otra forma, los elementos ${\displaystyle a_{ij}=0}$ siempre que ${\displaystyle i\neq j}$.
La matriz identidad es una matriz diagonal.

Ejemplos de matrices Diagonales:

Puede ser una matriz con valores ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}+4&0&0\\0&+1&0\\0&0&+9\end{bmatrix}}}$

O también una matríz con subíndices (Genérica)${\displaystyle B\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&0&0\\0&b_{22}&0\\0&0&b_{33}\end{bmatrix}}}$

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables ${\displaystyle C\in {\mathcal {M}}_{4\times 4}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}+7&0&0&0\\0&(3*w)&0&0\\0&0&(w+8)&0\\0&0&0&-6\end{bmatrix}}}$

Matriz Escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}}}$

Matriz Escalonada

Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente.
Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas.

Matriz Triangular superior

Se dice que una matriz (cuadrada) es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&8&5\\0&0&4\end{bmatrix}}}$

Matriz Triangular inferior

Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\3&6&0\\7&-1&4\end{bmatrix}}}$

Matriz Identidad

Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.
${\displaystyle I_{3}\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada

Matriz Nula o Matriz Cero

Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},etc.\ }$

Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn asume la forma:

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

Una matriz cero es, al mismo tiempo,matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular.

Matriz Opuesta

Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.

Matriz Transpuesta

Matriz transpuesta ( A^T). Se llama matriz transpuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.

Dada una matriz A, se llama matriz transpuesta A^T a la matriz que se obtiene intercambiando ordenadamente las filas por las columnas de A. Es decir, ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\ \forall \ i,j.}$

• Para una matriz ${\displaystyle A\in M_{m\times n}(\mathbb {R} )}$, se define la matriz transpuesta de ${\displaystyle A=(a_{ij})}$, denotada por ${\displaystyle A^{t}\in M_{n\times m}(\mathbb {R} )}$, como ${\displaystyle A^{t}=B=(b_{ij})\quad b_{ji}=a_{ij}\quad \forall i\in \{1,2,\dots ,m\}{\text{ , }}j\in \{1,2,\dots ,n\}}$. Es decir, las filas de la matriz ${\displaystyle A}$ corresponden a las columnas de ${\displaystyle B}$ y viceversa.

Ejemplo 1:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\ A^{T}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\ }$

Ejemplo 2:

Si ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&0\\1&2&0\\3&5&6\end{bmatrix}}}$,
entonces:

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}2&1&3\\3&2&5\\0&0&6\end{bmatrix}}}$

Propiedades:

1. (A^T)^T = A
2. (A + B)^T = A^T + B^T
3. (α • A)^T = α • A^T
4. (A • B)^T = B^T • A^T

Matriz Simétrica

Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

A = A^T

Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica

Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta de signo opuesto, siendo los elementos de la diagonal principal nulos; de valor cero.

A = – A^T

Matriz Ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.

y cumple que A • A^T = I.

Matriz Normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\,}$

donde A^* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Matriz Conjugada

Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz ${\displaystyle A}$ por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.

Ejemplo de matrices conjugadas

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}2-5i&3-5i&3-i\\4+3i&4&2+i\\1&3+2i&1-4i\end{pmatrix}},{\overline {B}}={\begin{pmatrix}2+5i&3+5i&3+i\\4-3i&4&2-i\\1&3-2i&1+4i\end{pmatrix}}}$

Matriz Inversa[editar]

La matriz inversa de una matriz dada A, es otra, que se anota A ⁻¹ y que cumple:

A·A ⁻¹ = A ⁻¹ · A = I

Matriz Invertible[editar]

También llamada matriz , no singular, no degenerada, regular.

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que

AA⁻¹ = A⁻¹A = I_n,

donde I_n es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Matriz Regular[editar]

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa y como consecuencia, su determinante es diferente de cero.

Matriz Singular o Degenerada[editar]

También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz Permutación[editar]

La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.

Matrices iguales[editar]

Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,...,n j=1,2,...,m.

Matriz Hermitiana

Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j.

Matriz definida positiva

Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.

Matriz Unitaria

Es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición:

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}\,}$

donde ${\displaystyle I_{n}\,}$ es la matriz identidad y ${\displaystyle U^{*}\,}$ es el traspuesto conjugado (también llamado el hermitiano adjunto o la hermítica) de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada ${\displaystyle U^{*}\,}$.

Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal.

Submatriz

A partir de una Matriz M, se llama submatriz M' a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p < m ; q < n.